Появился на свет Ростислав в Ростове-на-Дону, осенью - 30 ноября 1908 года в семье известного адвоката, поляка Ивана Иосифовича Плята и украинки из Полтавы Зинаиды Павловны Закаменной. Ростислав сам придумал себе псевдоним - приписал к фамилии одну букву "т" и поменял отчество.
Карьеру начал в Театре-студии у художественного руководителя Ю.А. Завадского в 1927 году, закончив предварительно драматические курсы у этого педагога. В период с 1936 по 1943 год поменял несколько мест работы: 1936 год - в театре Ростова-на-Дону, в 1938-1941 - в московском театре имени Ленинского комсомола, в 1941-1943 - в Московском драматическом театр, а с 1943 - в театре имени Моссовета.
Роль Фон Ранкена в спектакле "Дни нашей жизни" Л.Н. Андреева, которую актёр сыграл в 1938 году, принесла ему большой успех и раскрыла в нём способность передавать психологические тонкости характера своего героя, хотя до этой роли Плятт был сугубо комедийным актёром, создававшим утрированные характерные образы.
Дебют актёра в кино произошёл в 1939 году в первой роли холостяка в фильме "Подкидыш". Известность и узнаваемость Плятта обусловлена не только его актёрскими способностями но и личными человеческими качествами артиста - способность к быстрому перевоплощению, обаяние, интеллигентность, ироничность.
На доме, где жил великий актёр, на Малой Бронной улице, 2/6, в его память водружена мемориальная доска.
Ростислав Плятт захоронен на Новодевичьем кладбище.